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Si cette question se pose, c’est parce que les mathématiques sont considérées comme la connaissance la plus certaine, comme méritant le plus pleinement le titre de " science " et de " vérité ". Ce qu’on ne met nullement en question, c’est que les mathématiques soient une connaissance. Or, qu’est-ce qu’est-ce qui caractérise une connaissance? Une connaissance se caractérise surtout par le fait d’avoir un objet, et elle doit nous apporter des informations sur cet objet (ses propriétés, etc.).
Les sciences naturelles (science physique, biologie, chimie, histoire, etc.) sont bien des connaissances (à tel point que, d’un point de vue général, science et connaissance sont des termes synonymes) : d’une façon générale, ce qui caractérise les sciences est qu’elles ont un objet, même si, en grande partie, ces objets sont constitués par des théories (par exemple, en physique, les atomes, électrons, champs de gravitation, en biologie, les cellules, les molécules, etc.). Elles nous parlent de quelque chose, et nous font connaître les caractéristiques de ces objets. On pourrait répondre : des fonctions, des isomorphismes, des polynômes, des nombres complexes, etc. Il semble toutefois que ces " objets " ne soient pas des objets au même sens que ceux des sciences, i.e., qu’ils ne rendent possible aucune expérience et ne peuvent faire l’objet d’aucune expérience. Ainsi, on ne fait pas l’expérience d’un nombre mais d’un nombre donné de pommes, par exemple. Les mathématiques n’auraient donc pas d’objets réels. Ne faut-il pas dire alors que le savoir le plus respecté, paradoxalement, ne porte sur rien ? Mais peut-être peut-on dire, pour sauver les mathématiques, que ce qui fait qu’elles sont des vérités sûres et certaines, c’est justement qu’elles n’ont pas d’objet ? Et qu’elles sont, dès lors, des vérités d’un type particulier? Mais seront-elles encore des connaissances à part entière? Pourront-elles encore nous permettre de connaître quoi que ce soit? Ne seront-elles pas stériles, envisagées du point de vue de la connaissance ? Ne serviront-elles pas à tout autre chose qu’à connaître quoi que ce soit ? Pour répondre à notre question, nous devrons donc aussi répondre à la question de savoir si les mathématiques ont un objet ; nous devrons donc discuter des deux grandes positions sur ce point, qui sont les suivantes : 1)celle selon laquelle les math ont bien des objets (mais on ne voit pas de quelle nature ils peuvent être) 2)celle selon laquelle les math n’ont pas d’objet (mais on ne voit pas bien ce qu’elles nous permettent de connaître et surtout pourquoi elles sont considérées comme le domaine privilégié de la vérité) Commençons par ce premier argument, puisque c’est de là que nous sommes partis. I- particularité des vérités logiques et mathématiques A- Les mathématiques ne sont pas une connaissance empirique mais purement formelle, comme la logique 1) Hume : les vérités analytiques et synthétiques
Commentaire Hume distingue ici deux genres de connaissances humaines, et deux statuts correspondant de vérités. D’un côté, il y a les connaissances qui portent sur le monde, sur la réalité concrète. On peut y ranger les connaissances empiriques, les sciences de la nature, etc. De l’autre, il y a les connnaissances logiques et mathématiques, qui elles ne portent pas sur le monde, ni par conséquent sur des entités réellement existantes, mais sur les idées de notre esprit et leur mise en relation. Conséquence : a) les premières connaissance sont des vérités synthétiques Exemples de vérités synthétiques : " le soleil se lèvera demain " ; " la lune tourne autour de la terre ". Deux caractéristiques majeures : - Portant sur le monde, elles sont variables, car le monde peut toujours changer. Il peut très bien y avoir une catastrophe nucléaire, si bien que le soleil ne se lèvera pas demain ; ibido pour la lune… Ces vérités peuvent donc devenir, de vraies qu’elles étaient, fausses. - Elles sont a posteriori, i.e., on a besoin, pour les vérifier, de recourir à l’expérience. On ne peut pas savoir que la lune tourne autour de la terre, si on ne l’a pas observé. Ibido pour le soleil. b) Les secondes connaissances sont appelées vérités analytiques Hume en donne deux exemples, qui sont exclusivement de nature mathématique : (1) le carré de l’hypothénuse est égal au carré des deux côtés (2) trois fois cinq est égal à la moitié de trente Caractéristiques majeures, par rapport aux vérités synthétiques : - Ne portant pas sur le monde, elles ne sont pas sujettes à changement, elles ne peuvent s’avérer fausses demain. Elles sont toujours, i.e., nécessairement, vraies. Vérités éternelles. - On n’a nullement besoin, pour les connaître, de recourir à l’observation du monde extérieur. Elles sont a priori. Bien sûr, on peut donner des exemples non mathématiques de ces vérités : (3) la licorne n’a qu’une corne sur la tête (4) les célibataires ne sont pas mariés (5) une chose (a) ne peut être en même temps elle-même et son contraire (non a) Toutes ces vérités sont analytiques en ce que, pour les vérifier, on n’a nullement besoin de recourir à l’expérience, mais on peut se contenter de développer la signification du premier terme, ; on obtient alors, par déduction, le second terme. 2) Les mathématiques sont donc de nature logique Cela paraît aller de soi, cf.fait que dans le programme de Terminale, on met ensemble logique et mathématiques : on présuppose bien qu’il y a une raison fondamentale de les mettre ensemble, et que parler de l’une, c’est parler de l’autre. Afin de voir quels sont leurs caractères communs, nous allons étudier rapidement chacune de ces deux disciplines. a) Qu’est-ce que la logique formelle ?
a1) Une science du raisonnement valide La logique formelle est une science qui détermine quelles sont les formes correctes de raisonnement (" propositions "). Elle s’intéresse à leur validité, et celle-ci se détermine en considérant la forme de ce raisonnement, non sa matière (contenu). Pour ce faire, on va donc symboliser les propositions. a2) Eléments de la logique formelle aristotélicienne Chez Aristote, l’inventeur de la logique (cf. Premiers et seconds analytiques), une proposition se décompose en sujet (ce de quoi on affirme), prédicat (ce qui est affirmé), copule (qui lie les deux). NB : seuls le sujet et le prédicat sont symbolisés (par S et P). Une proposition a une quantité (universelle ou particulière) et une qualité (affirmative ou négative), ce qui, par combinaison, donne pour les mêmes termes 4 propositions (carré logique) : (1) tout S est P (2) nul S n’est P (3) quelque S est P (4) quelque S n’est pas P On peut relier les valeurs de vérité de ces propositions opposées : - les deux universelles ne peuvent être vraies ensemble ( mais elles peuvent être fausses ensemble) - si une universelle est vraie, la particulière de même qualité l’est, et la vérité d’une proposition entraîne la fausseté de celle qui possède une quantité et une qualité opposée. Aristote appelle le raisonnement logiquement valide, un syllogisme. Caractéristiques majeures du syllogisme : - une suite de trois propositions telle qu’une fois les deux premières (prémisses) accordées, la troisième (conclusion) ne peut être refusée. - il repose sur trois termes : la conclusion s’effectue parce qu’un terme commun aux deux prémisses permet de relier les autres termes. - suivant la disposition de ce moyen terme (M), on a différentes figures : MA, MB, BA (première figure) ; AM, BM, BA (deuxième figure) ; MA, MB, BA (troisième figure) ; AM, MB, BA (quatrième figure) - les figures donnent lieu à différents modes selon la quantité et la qualité de leurs propositions (exemple : tout M est A, tout B est M, donc tout B est A, mode de la première figure) La syllogistique s’efforce de démontrer sur ces schémas quels sont les modes valides, i.e., ceux pour lesquels, les prémisses étant vraies, la conclusion l’est. Pour être valide, un syllogisme doit être conforme au schéma d’un mode valide ; la validité d’un raisonnement quelconque dépend uniquement de sa forme. Donc : la logique est une science autonome, qui a un objet propre, les formes de démonstration. Mais cet objet n’a pas de contenu. La logique ne nous apporte pas d’informations, ne décrit rien…
a3) Eléments de logique contemporaine
La logique aristotélicienne sera plus tard " améliorée " ; elle a en effet des limites, comme par exemple de symboliser seulement les individus (Socrate), les espèces (l’homme), les concepts (mortel), qu’elle met en relation, et dont elle analyse leurs relations.
Aujourd’hui, c’est l’ensemble des trois éléments aristotéliciens qui est l’élément (proposition élémentaire), et est donc l’élément mis en relation avec d’autres (propositions élémentaires).
On symbolise ces propositions élémentaires par p, q, r. Elles sont reliées par des opérateurs propositionnels : ou, et, non, si alors, ssi, eux-mêmes représentés par des symboles. On peut les qualifier seulement de vraies ou fausses.
Exemple :
(1) je suis au pôle nord = p (2) il fait froid = q (3) si je suis au pôle nord alors il fait froid = p.q a4) Stérilité de la logique : la validité logique n’a rien à voir avec la vérité matérielle La déduction ou le syllogisme est un raisonnement seulement formel, i.e., qui n’a rien à voir avec le réel. Ce que ne permet aucunement de savoir la déduction, c’est si les prémisses sont vraies ou non. Tout ce qu’elle nous permet de dire, c’est que si elles sont vraies, alors, la conclusion l’est aussi (i.e., de déduire des énoncés à partir d’autres énoncés). Exemple : (1)tous les chats ont cinq pattes (2)Gromatou est mon chat (3)Gromatou a cinq pattes
Est un raisonnement valide, car si (1) et (2) sont vraies, alors, (3) l’est aussi. Mais bien entendu il est faux matériellement. Conclusion a) : la logique est donc purement formelle, elle n’apporte pas de connaissance sur le monde, elle n’a pas vraiment d’objet propre. Et elle est stérile, au sens où elle ne peut nous apporter de connaissances. b) Nature du raisonnement mathématique
Dans le texte de Hume étudié ci-dessus, nous avons vu que le raisonnement mathématique consiste à établir des relations entre certains "objets" ou "définitions" (hypoténuse, triangle, cinq, etc.) : ainsi disait-il :
"Le carré de l’hypothénuse est égal au carré des deux côtés, cette proposition exprime une relation entre ces figures. Trois fois cinq est égal à la moitié de trente, exprime une relation entre ces nombres."
Mais comment opère-t-on cette mise en relation ? Par des procédés logiques, ie, par une "démonstration" : cf. ce texte célèbre de Platon, qui résume bien la méthode mathématique :
Ce qui est essentiel : le respect du principe de non-contradiction, règle essentielle de la logique. C'est la logique qui guide donc le raisonnement mathématique. Toutes les propositions qu’énonce les mathématiques peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle.
C'est bien ce que fait la géométrie d'Euclide : quand on énonce quelque chose sur les objets de la géométrie (plans, lignes, points) et leurs relations appartenir, être situé entre, être congru) on le fait par déduction, en veillant à ce que cet énoncé soit une conséquence logique de ce qu'on a posé au départ (système d'axiomes qui les régit). Premier système hypothético-déductif
Si le raisonnement mathématique est déductif, alors, il est de nature logique. Il respecte la logique, et il est formel. De plus, on ne peut pas dire qu’il nous apporte une connaissance sur le monde… (du moins, cela paraît bizarre qu’il puisse le faire ; mais c’est ce qui sera discuté plus tard).
c) Points communs de la logique et des mathématiques Logique et mathématiques sont donc purement formelles, elles ne portent pas sur le monde empirique, et n’ont aucun contenu; dans les deux cas, on manipule des symboles formels, abstraits, en les mettant en relation par des relations de type " logique ", elles aussi abstraites; par conséquent, on ne parlera pas strictement à leur égard de vérité mais de validité Une telle thèse a inspiré d’ailleurs des programmes de réduction des mathématiques à la logique. On insiste alors fortement sur le côté abstrait des mathématiques. Ce sont : - le logicisme (Russell et Whitehead, Frege, mais aussi Leibniz) : cherche à construire déductivement les mathématiques à partir d’un langage logique élémentaire. - le formalisme (Hilbert, mais aussi Pascal) : la " pensée " mathématique n’a d’existence que dans les systèmes d’écriture qui la manifestent (i.e., sur le papier) ; tout est rédutible à des symboles logiques, dépourvus de contenu ; et les mathématiques sont entièrement démontrables, non contradictoires (i.e., conformes à norme logique suprême) NB : Je ne m’attarde pas sur ces deux programmes, car ma question n’est pas de savoir si les mathématiques sont ou non réductibles à la logique. Et puis, le cours serait encore plus long qu’il ne l’est déjà ! B- Logique et mathématiques ne sont pas des connaissances au sens strict Problème : logique et mathématiques ne sont pas des connaissances à part entière, puisqu’elles n’ont pas de caractère informatif. Elles n’ont à voir qu’avec les règles de l’esprit ; elles ne parlent donc que de l’esprit, et n’ont pas d’objet. Ce sont soit : - des conventions, des normes pour penser correctement, - ou bien des lois naturelles de la pensée (mais la nature peut-elle être source de normes ? –il semble qu’on puisse parler de lois naturelles de la pensée en recourant à la sélection naturelle, cf. cours religion, partie sur Darwin). Mathématiques et logique servent alors seulement à savoir raisonner, à penser correctement. Ce n’est que de façon indirecte qu’elles servent la connaissance : elles nous montrent comment utiliser notre esprit pour connaître la réalité. (Aristote appelait sa logique un " organon " = instrument). Ce sont seulement des auxilliaires pour la connaissance.
1) la logique, auxilliaire de la connaissance Voici quelques textes :
Lectures conseillées : Arnauld et Nicole, La logique de Port Royal ; Descartes, Regulae (Règles pour la direction de l’esprit)
2) les mathématiques, auxilliaires de la connaissance
Cf. Platon, République : celui qui prend l’habitude de faire des raisonnements mathématiques prend l’habitude de se détacher des sens, du monde sensible. Or, pour lui, l’être véritable n’est pas sensible mais intelligible. Les mathématiques nous permettent donc d’accéder au monde intelligible, à la science de l’être. II- le statut ontologique des mathematiques Mais les mathématiques ne sont-elles que jeu de l’esprit, ou lois naturelles de la pensée ? Sont-elles vraiment de même nature que la logique ? Enjeu : si on découvre que non, alors, on pourra alors dire qu’elles sont bien une connaissance à part entière. Plusieurs raisons fondamentales nous inclinent à croire que les mathématiques ne sont pas strictement réductibles à la logique. On en relève principalement trois.
1) L’échec du formalisme : le théorème de Gödel
1931 : Gödel établit l’existence, à l’intérieur de tout système formel, comme celui de Hilbert) qui suppose l’arithmétique élémentaire, et même à l’intérieur du système formalisé de l’arithmétique, d’une proposition vraie mais non démontrable (i.e., non déductible des axiomes). Les mathématiques ne sont pas entièrement formalisables, et donc sans doute pas de nature logique.
Impossibilité de démontrer la non-contradiction d’un système formel à l’aide des seules ressources qu’il contient lui-même.
Cela mène à penser que les mathématiques, contrairement à la logique, ont quelque chose de non formel.
2) Kant, Prolégomènes à toute métaphysique future qui voudra se présenter comme science, I, § 2, c, ii : le jugement mathématique n’est pas analytique mais synthétique, car il nécessite le recours à l’intuition
Kant dirige ce texte contre le texte de Hume cité en première partie. Si on a pu croire, dit-il, que les mathématiques étaient des connaissances analytiques et donc de nature logique, c’est parce qu’elles sont a priori. A priori, i.e., nécessaires (toujours vraies) et non tirées de l’expérience. Mais elles ne sont en fait pas analytiques, car on ne peut, pour reprendre l’exemple de Kant, tirer le concept de 12 par seule analyse des concepts de 5 et 7, et en recourant seulement au principe de contradiction. Le mathématicien procède de façon " intuitive ". Ce qu’est cette intuition, nous y reviendrons dans la dernière partie.
En attendant, force est donc de constater que les mathématiques sont donc irréductibles à la logique. N’ont-elles pas alors un contenu ?
B- contrairement à la logique, les mathematiques semblent avoir un contenu
En logique, nous venons de le voir, on ne mentionne aucune propriété ou raltion particulière (il n’y est question que de propriétés P quelconques et de relations R quelconques) ; et si on y mentionne des objets, ce sont des objets quelconques a, b, c…
Or, les énoncés mathématiques concernent des propriétés et des relations particulières, comme être pair, être premier, être plus grand que, être parallèle à, etc. Et il est difficile d’échapper à l’impression qu’on a affaire à des objets.
Problème : sont-ce des objets comme les objets sensibles, ou différents ? 1) Le réalisme des mathématiques : Platon
Ils ne semblent pas être de type sensible.
Premier argument : où voit-on des triangles, des nombres, etc., dans la nature ? On voit, certes, des choses triangulaires, des ensemble de n pommes mais pas des triangles en soi ou des nombres en soi, comme objets qui existeraient en plus ou à côté des autres objets. Les objets mathématiques ne peuvent pas être sensibles, car s’ils le sont, ils ne peuvent pas être autonomes.
Deuxième argument : quand on fait des mathématiques, on leur attribue des propriétés : il semble donc bien que les objets mathématiques soient des objets non concrets, non sensibles. On n’y accède que par la pensée.
Cf. Platon, suite du texte cité ci-dessus :
Commentaire Faire des math, c’est accéder à un monde transcendant : les math sont donc une connaissance inouïe qui n’est pas de type empirique . Ce texte fonde les math à plus d’un titre : 1)il est sans doute le premier texte dans lequel on s’interroge sur la spécificité des math, sur le type de savoir qui les caractérise 2)il est le premier texte dans lequel on explicite ce qu’est une démonstration mathématique, puisque c’est le premier texte qui, dans la tradition occidentale, tend à penser les math comme le domaine par excellence de la vérité. A partir de ce texte, les math seront présentées comme l’exemple même d’une connaissance qui devrait être imitée par les autres sciences. C’est la naissance du " modèle mathématique de la connaissance ". 3)Ce texte présente la première réflexion sur ce que sont les objets mathématiques Explication du texte. Il faut ici renvoyer à la hiérarchie platonicienne entre les types de connaissance et les types d’objet
Première remarque : pour Platon, une connaissance a d’autant plus de valeur que son objet en a ; donc, à chaque type d’objet correspondra un certain type de connaissance. Quant aux objets, ils ont eux-mêmes plus ou moins de réalité. Plus ils relèvent du sensible, moins ils ont de réalité, parce qu’ils ne sont eux-mêmes que des images d’autres objets. Plus ils sont situés près des essences, plus ils ont de réalité. Deuxième remarque : A est l’image de B, a est l’image de b, b est l’image de c, c l’image de d.
La connaissance mathématique, même si elle n’est pas la connaissance la plus élevée, va jouer le rôle de relais pour accéder, à partir du sensible, à la dialectique philosophique. A l’entrée de l’Académie platonicienne, il est écrit : " nul n’entre ici s’il n’est géomètre ". Même la connaissance mathématique est encore sensible, mais elle a le mérite de reposer sur des faits qui ne sont ni illusoires, ni changeants. Le triangle en soi, l’égal en soi, etc., sont des réalités éternelles pour Platon. 2) critique du réalisme mathématique (le nominalisme) Difficulté essentielle de cette thèse : l’idée est celle selon laquelle les math sont une connaissance d’objets intelligibles, abstraits. Mais peut-il exister de tels objets ? Tout ce qui existe n’est-il pas individuel et concret ? Supposons la relation : a A b ; A = " égal à " ou " est antérieur à " ou n’importe quelle relation. Dans la mesure où les objets qui peuvent entrer dans cette relation ont pour Platon moins de réalité que la relation elle-même, la relation est plus objective que les termes de la relation. Donc, les math sont la connaissance de notions universelles (essentiellement des relations) et non pas de réalités sensibles. Réalisme : la relation, dit Platon, est une réalité ontologique extra mentale qui a plus de réalité que les éléments qui entrent en relation La difficulté, c’est que Platon tient ces notions universelles pour des réalités. b) Y a-t-il des objets universels ? (la critique nominaliste) Le réalisme présente comme existantes des réalités dont il n’est pas possible de faire l’expérience ; le nominaliste considère que toute entité dont on postule l’existence doit être réductible à une réalité singulière, individuelle, dont on peut faire l’expérience. Exemple : l’idée d’humanité Pour le réaliste, l’humanité existe et est plus réelle que les individus humains qui l’exemplifient et en participent ; pour un nominaliste, l’humanité est seulement l’ensemble de tous les êtres humains ; mais ce n’est pas une chose qui aurait des propriétés.
Croire que l’idée d’homme correspond à quelque chose de réel en dehors de notre esprit, que ce soit comme entité existante en plus des hommes individuels, ou comme ensemble de caractères essentiels (une essence), c’est être victime d’une confusion issue du langage lui-même. En effet, nous croyons spontanément qu’à chaque mot, correspond une chose. Nous multiplions alors les entités existantes. Cf. Russell, Problèmes de philosophie ; Platon et les Idées ; les critiques empiristes des notions générales (concepts) et/ ou du langage en général ; le corrigé d’un texte de Nietzsche sur le langage ; l’argument du " troisième homme " (Platon ( !), Parménide, 132 a : s’il y a une Idée de ce qui est commun à plusieurs réalités et si l’Idée est une réalité, alors il y aura une Idée de ce qui est commun à l’homme sensible et à l’homme idéal, et encore une Idée de ce qui est commun à ce troisième homme et aux deux autres, et ainsi de suite à l’infini, ce qui est absurde) ; Aristote, Métaphysique, A, 6 à 9, M, 4 à 10 et N, 2.
Problème de savoir s’il y a des " essences " réelles, desquelles les choses participeraient…
Ceci vaut donc également des prétendus objets mathématiques. Manipuler les concepts de nombre, de fonction, de triangle, etc., peut nous mener à croire en l’existence de nombres, de fonctions, de triangles, en dehors de notre esprit, et à croire même que ces objets de nature mathématique forment un monde plus parfait que celui des objets sensibles, qui n’ont pas de propriétés idéales, qui changent sans cesse, etc. Mais ce n’est qu’une illusion, qui revient à réifier des concepts. Il n’existe pas d’objets mathématiques.
Constat : les mathématiques se retrouvent dans toute connaissance physique Elles ont donc un certain rapport à la réalité, sous la forme d’une application. a) En quoi consistent précisément ces applications des mathématiques ? On peut les décrire de la façon suivante : il s’agit de prévoir le comportement de certains objets du monde sensible dans des conditions données, compte tenu des lois générales régissant ces comportements. On fabrique un modèle mathématique de la situation étudiée,
Si on doit mathématiser la physique, connaissance de la nature, c’est parce que la nature elle-même est de nature mathématique. Les figures géométriques ne servent pas seulement à décrypter l’univers, elles en constituent la trame essentielle. Sous les événements sensibles divers et changeant, se cache un ordre harmonieux, de nature mathématique, et c’est l’objet véritable de toute science physique de l’appréhender. Cf. distinction qualités premières et secondes. Manière de soutenir cette thèse : il compare la nature à un livre. Mais alors, qui l’a écrit ? Dieu ? Alors, théologisation des math ! Les math rendent raison de l’univers parce que Dieu l’a créé selon un plan mathématique. Deux difficultés : 1) comment expliquer que nos facultés humaines de connaître soient naturellement accordées et adéquates au monde lui-même ? N’est-ce pas un miracle ? On peut peut-être répondre que Dieu a bien fait les choses, qu’il a créé les facultés humaines de sorte qu’elles puissent connaître le fond de la réalité. Il y a une sorte d’harmonie préétablie entre l’homme et le monde. Problème : il faut croire en Dieu … Comment fait-on si on n’y croit pas et si Dieu n’existe pas ? Ne faut-il pas séparere science et religion ? 2) mais justement : sommes-nous vraiment obligés de dire que puisque les mathématiques s’appliquent à la physique, c’est que l’objet de la physique, la nature, est mathématique ?
E- Kant et le synthétique a priori
On peut répondre à ces deux questions en nous tournant vers une autre solution, qui invoque l’homme et les structures de sa perception. C’est celle de Kant.
Nous avons déjà vu, ci-dessus, que pour Kant, les mathématiques sont de nature synthétique et non pas analytique. Sa position est " intuitionniste " : les mathématiques procèdent par construction de concepts en recourant à l’intuition. Mais quelle est cette intuition, dont nous n’avons pas encore parlé ? Pourquoi est-ce ce caractère qui rend compte à la fois du caractère étrange des mathématiques, à savoir, que tout en étant rigoureuses, et indépendantes de/ antérieures à l’expérience elles s’appliquent pourtant à l’expérience ?
D’abord, contre Hume, cf. texte ci-dessus (partie I), il dit que les mathématiques ne sont pas analytiques mais synthétiques. Sens du mot de " synthèse " : construction, recours à l’intuition. Mais il continue à dire qu’elles sont également une connaissance a priori. I.e., elles ne sont pas issues de l’expérience, et seront donc toujours vraies. Mais cela veut dire aussi, et plus fondamentalement, qu’elles ont pour objet les intuitions pures. Qu’est-ce qu’une intuition pure ? C’est la forme des phénomènes, qui est aussi la structure de notre esprit. Cf. espace et temps : a priori car précèdent toute expérience, et en sont la condition même de possibilité. Thèse générale de Kant sur les mathématiques (je prends l’exemple de la géométrie, qui est celui que privilégie Kant) : (1) la géométrie est une science de l’espace (2) or l’espace est une forme de la sensibilité humaine ; en effet, cf. théorie kantienne de l’espace et du temps (esthétique transcendantale) L’espace n’est ni un concept, ni une propriété des choses (en soi) : - pas des concepts : cf.exemple des deux gants, § 13 Prolégomènes : il y a une différence de symétrie qui n’est pas du tout repérable d’un point de vue strictement conceptuel, mais qui l’est dans la perception de l’espace. On ne peut faire comprendre la distinction main droite et main gauche par un concept, mais seulement par une intuition. - pas des propriétés des choses en soi : s’ils l’étaient, on ne pourrait rien à savoir a priori ; la seule manière de rendre compte de ce caractère a priori, c’est de dire qu’ils appartiennent à notre esprit, qu’ils sont un cadre que l’homme impose aux phénomènes ; mais alors, ils ne valent pas des choses telles sont indépendamment de la façon qu’elles ont d’apparaître à l’homme : c’est ce que Kant veut dire en disant que l’espace et le temps ne sont pas des propriétés des choses (en soi) mais des phénomènes (réalité extérieure en quelque sorte construite par l’esprit de l’homme, et donc connaissable) L’espace est donc une idéalité transcendantale : L’espace est ce qui fait que les choses deviennent pour nous des objets extérieurs. L’espace est une forme, une loi, qui s’applique aux choses. C’est ce que Kant nomme " idéalité transcendantale " de l’espace et du temps : ils sont non réels (idéaux) mais ce sont les conditions de possibilité de toute expérience (transcendantaux). NB : Attention ! L’espace peut être dit " réel " au sens où il est une propriété de toutes les choses, mais il n’existe pas en dehors des conditions de mon expérience. (4) donc : la géométrie, science de l’espace, est une science de la manière dont les choses nous apparaissent, de la manière dont l’espace est vécu. (C’est une structure commune à tous les objets qui va être à la base de la géométrie. ) La géométrie pure s’applique aux objets des sens (mais n’a rien à voir avec ce choses telles qu’elles sont en elles-mêmes). Elle s’applique à l’expérience, mais elle n’en dérive pas. La géométrie ne peut être modifiée par notre expérience. Si elle est synthétique a priori, c’est parce que d’un côté elle précède l’expérience et ne peut être modifiée par elle, et de l’autre, elle s’applique à tous les corps. Elle a donc quand même à voir avec la structure réelle du monde, puisqu’elle est conformeà notre intuition de l’espace !
Cela n’aurait pas de sens de confronter cette science à l’expérience pour savoir si elle est vraie, et pourtant, elle essaie de nous dire quelque chose à propos du monde. On constate, mais on ne contrôle pas, la certitude de ses axiomes dans l’expérience. C’est " vrai par définition " qu’une ligne sera droite dans la nature et dans la géométrie. Pas d’évolution possible, si l’expérience ne peut avoir d’influence.
Résumé : la mathématique pure porte sur les intuitions pures que sont l’espace et le temps. Il suffit de développer l’intuition pure de l’espace pour avoir la géométrie, et l’intuition pure du temps pour avoir l’algèbre. L’espace et le temps sont donc le fondement de toutes les propriétés mathématiques. Ou : c’est la forme des phénomènes qui est à la base de toute la connaissance mathématique.
La géométrie n’est pas essentiellement euclidienne (c’est ce que croit Kant, qui ne connaissait que celle-là), et ne décrit peut-être pas l’espace de notre expérience, mais un espace abstrait.
a) les géométries non euclidiennes.
On objectera à Kant que l’on ne pourrait pas même les concevoir, si la géométrie était synthétique a priori. Voici l’historique rapide de cette découverte. Depuis toujours, l’axiome euclidien des parallèles, qui était la base même du système axiomatique d’Euclide, causait de graves soucis aux mathématiciens. Cet axiome stipule que pour tout plan sur lequel il y a une droite L et un point P situé hors de cette droite, il existe dans ce même plan une droite L’ et une seule qui passe par P et soit parallèle à L. Ce qui signifie que deux droites ne peuvent avoir plus d’un point commun. S’il posait problème, ce n’était pas en tant que vrai ou faux (il passait pour "évident ") mais en tant qu’axiome. Les mathématiciens cherchaient à lui donner le statut de théorème, et donc, à le dériver des autres axiomes. Ils pensaient d’ailleurs avoir réussi à déduire ce postulat des autres axiomes. Or, grâce à l’invention de la logique des relations, au siècle dernier, on a pu découvrir que cette déduction n’était pas une véritable déduction, puisqu’il y entrait, subrepticement, un élément intuitif. De plus, cette prémisse intuitive latente n’était autre que l’axiome des parallèles lui-même(). Cela a abouti, toujours au siècle dernier, à remettre en question la thèse () selon laquelle la géométrie serait, par définition, ou analytiquement, euclidienne. En effet, ce qu’on a découvert, c’est que l’axiome des parallèles est indépendant des autres axiomes d’Euclide. Il est impossible de l’obtenir à partir d’eux. Or, si l’axiome des parallèles est indépendant des autres axiomes d’Euclide, alors on peut mettre à sa place, sans contredire ces derniers, une proposition incompatible avec lui. On s’est donc mis à le remplacer par d’autres propositions, et à construire des systèmes d’axiomes tout nouveaux, appelés géométries non-euclidiennes (qui eux, ne faisaient nullement appel à l’intuition). Citons pour faire bref les deux principales propositions de remplacement : d’abord, 1) on peut poser que dans un plan déterminé, étant donné un point situé en dehors d’une droite, il ne passe par ce point aucune parallèle à cette droite (Euclide dit qu’il en passe une et une seule) : c’est la solution de Riemann ; ou bien 2) on peut poser qu’il passe plus d’une parallèle (on démontre que, s’il en passe plus d’une, il en passera un nombre infini) : c’est la solution de Lobachevsky ().
Tableau concernant les géométries d’Euclide, de Riemann et de Lobachevsky Cliquez
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Du fait que le scientifique et le mathématicien pur utilisent les mêmes mots, on avait conclu à tort qu’ils pratiquaient le même genre de géométrie. Or, l’une est a priori et l’autre a posteriori. Il n’y a pas d’énoncé qui, doués d’une certitude de caractère logique, puisse nous renseigner également sur la structure géométrique du monde Les mathématiques rendent précises les connaissances qui s’en servent, c’est tout : manière simple de résoudre le problème de la physique mathématique ! Oui, mais est-ce vraiment une façon définitive de résoudre le problème ? Car il y a bien un problème : pourquoi les mathématiques pourraient-elles être à la base de la physique, et pas de l’histoire par exemple ? Et ne sont-elles pas une drôle de connaissance, en ce que, non tirée de l’expérience, elle s’y applique pourtant ?
Annexe : faut-il interpréter la thèse de Galilée ontologiquement ?
Certains interprètes de l’œuvre de Galilée refusent cette interprétation ontologique.
Cf. L. Geymonat, Galilée, Seuil, Points Sciences, pp. 150-53 : selon lui, si Galilée évoque ici les math, c’est seulement parce que celles-ci sont seules capables, par leur rigueur, de nous conduire à la vérité en nous évitant de nous perdre dans des songes. Les math seraient donc pour lui intéressantes beaucoup plus comme moyen technique (venant seconder la logique) que comme moyen métaphysique (permettant d’exprimer une réalité plus stable et plus harmonieuse, sous-jacente aux fluctuations des phénomènes). Geymonat insiste tout le long de son ouvrage que Galilée s’est intéressé aux mathématiques en tant que méthode, i.e, en tant qu’elles peuvent garantir la conduite logique de nos raisonnements. La légitimation philosophique de cet emploi ne l’aurait soi-disant pas intéressé.
Fondement de la thèse de Geymonat : s’appuie sur le fait que le fil dircteur de L’Essayeur est l’opposition d’une vraie logique à une fausse dialectique (celle de ses contradicteurs)
J’ai des doutes que l’on puisse soutenir la validité méthodologique des mathématiques dans le domaine de la connaissance scientifique, en ne légitimant pas cela philosophiqument. C’est pourquoi je soutiens, ci-dessus, la thèse contraire.
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